笛卡尔曲线(平面图形是哪位数学家发现的)
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2023-12-01
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1. 笛卡尔曲线,平面图形是哪位数学家发现的?
这是一个历时很长的过程。古希腊的欧几里得是最先用演绎方法系统的研究平面图形,例如三角形四边形,圆形,多边形等。到了后来又有从圆锥用不同面割出来的图形,称为圆锥曲线,后来笛卡尔又发明了解析几何方法,把几何和代数结合起来。
2. 常见奇偶函数总结?
在数学中,奇偶函数是一种具有特殊对称性质的函数,它们的定义如下:
1. 奇函数:如果对于任意实数 x,都有 f(-x)=-f(x),则函数 f(x) 是奇函数。也就是说,奇函数关于原点对称。
2. 偶函数:如果对于任意实数 x,都有 f(-x)=f(x),则函数 f(x) 是偶函数。也就是说,偶函数关于 y 轴对称。
常见的奇函数有:
1. 正弦函数 sin(x)
2. 反正切函数 arctan(x)
3. 笛卡尔心形曲线 r=cos(θ)
4. 奇数次幂函数 x^3、x^5、x^7 等
常见的偶函数有:
1. 余弦函数 cos(x)
2. 正切函数 tan(x)
3. 平方函数 x^2
4. 偶数次幂函数 x^2、x^4、x^6 等
除此之外,还有一些既不是奇函数也不是偶函数的函数,它们被称为“既非奇也非偶”的函数,例如常见的指数函数 exp(x) 和对数函数 ln(x)。
奇偶函数具有一些特殊的性质,在数学推导中有广泛的应用。
3. 百岁山为什么这么贵?
百岁山号称“水中贵族”,那为什么这么贵呢?
有以下几个原因:一,情怀卖的好,百岁山的广告拍的是笛卡尔与公主的爱情故事,科学界也流传着这么一个“人造传说”——笛卡尔与他的心形曲线。故事始于1650年的一个宁静午后,斯德哥尔摩街头上,52岁穷困潦倒的笛卡尔邂逅了18岁高贵的公主克里斯蒂娜。对数学有着浓厚兴趣的公主,看着笛卡尔埋头苦算的数学难题,深深被他的才华折服。几天后,笛卡尔也被召进宫,成了公主的数学老师。随着公主的数学成绩越来越好,他们之间的纯粹、美好的爱情也萌芽了。但知道实情的国王也勃然大怒,笛卡尔马上被放逐回国,而公主也被禁锢了起来。公主的高贵身份正和“水中贵族”的设定一致。
二,包装好,明显比一般矿泉水包装高档又简约。
三,水好,尝过百岁山,确实入口柔软比一般的水口感好一点,广告费肯定都加进成本去了。
4. 笛卡尔叶形线的性质?
笛卡儿叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡儿在1638年提出。
直角坐标系:x^3+y^3=3axy
极坐标系:r=(3asin(θ)cos(θ))/(sin(θ)^3+cos(θ)^3)
参数方程:
x=3at/(1+t^3)
y=3at^2/(1+t^3)
5. 双曲线纯代数弦长公式?
公式是:设直线y=kx+b与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=√(1+k²)[(X1+X2)²-4X1X2]。
在数学中,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的半实轴。
双曲线出现在许多方面:
作为在笛卡尔平面中表示函数的曲线;作为日后的阴影的路径;作为开放轨道(与闭合的椭圆轨道不同)的形状,例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道,或更一般地,超过最近行星的逃逸速度的任何航天器。
作为一个单一的彗星(一个旅行太快无法回到太阳系)的路径;作为亚原子粒子的散射轨迹(以排斥而不是吸引力作用,但原理是相同的);在无线电导航中,当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时等等。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。对角线对面的手臂,一个从每个分支,倾向于一个共同的线,称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线,其交点位于双曲线的对称中心,这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。
6. 双曲线公式的衍生公式?
双曲线函数公式是y=±2x,在数学中,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a 的两倍,这里的a 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a 还叫做双曲线的半实轴。焦点位于贯穿轴上它们的中间点叫做中心。从代数上说,双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线使得,这里的所有系数都是实数,并存在定义在双曲线上的点对(x, y)的多于一个的解。注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。,双曲线的图像无限接近渐近线,但永不相交。
7. 函数的故事?
早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义,绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann,瑞,1667-1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义:由任一变量和常数的任一形式所构成的量,贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为,其在函数概念中所说的任一形式,包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞,1707-1783)就给出了非常形象的,一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是:一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数(只有自变量间的代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数),还考虑了“随意函数”(表示任意画出曲线的函数),不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1822年傅里叶(Fourier,法,1768-1830)发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy,法,1789-1857)从定义变量开始给出了函数的定义,同时指出,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式,不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限,突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805-1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个或多个确定的值,那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托尔(Cantor,德,1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量可以是数,也可以是其它对象(点、线、面、体、向量、矩阵等)。
现代函数概念——集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”,即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样,就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为,若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变元,元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意味着函数概念发展的历史终结,20世纪40年代,物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac-δ函数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的,但由于广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的Dirac-δ函数等概念统一了起来。因此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继续扩展。
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1. 笛卡尔曲线,平面图形是哪位数学家发现的?
这是一个历时很长的过程。古希腊的欧几里得是最先用演绎方法系统的研究平面图形,例如三角形四边形,圆形,多边形等。到了后来又有从圆锥用不同面割出来的图形,称为圆锥曲线,后来笛卡尔又发明了解析几何方法,把几何和代数结合起来。
2. 常见奇偶函数总结?
在数学中,奇偶函数是一种具有特殊对称性质的函数,它们的定义如下:
1. 奇函数:如果对于任意实数 x,都有 f(-x)=-f(x),则函数 f(x) 是奇函数。也就是说,奇函数关于原点对称。
2. 偶函数:如果对于任意实数 x,都有 f(-x)=f(x),则函数 f(x) 是偶函数。也就是说,偶函数关于 y 轴对称。
常见的奇函数有:
1. 正弦函数 sin(x)
2. 反正切函数 arctan(x)
3. 笛卡尔心形曲线 r=cos(θ)
4. 奇数次幂函数 x^3、x^5、x^7 等
常见的偶函数有:
1. 余弦函数 cos(x)
2. 正切函数 tan(x)
3. 平方函数 x^2
4. 偶数次幂函数 x^2、x^4、x^6 等
除此之外,还有一些既不是奇函数也不是偶函数的函数,它们被称为“既非奇也非偶”的函数,例如常见的指数函数 exp(x) 和对数函数 ln(x)。
奇偶函数具有一些特殊的性质,在数学推导中有广泛的应用。
3. 百岁山为什么这么贵?
百岁山号称“水中贵族”,那为什么这么贵呢?
有以下几个原因:一,情怀卖的好,百岁山的广告拍的是笛卡尔与公主的爱情故事,科学界也流传着这么一个“人造传说”——笛卡尔与他的心形曲线。故事始于1650年的一个宁静午后,斯德哥尔摩街头上,52岁穷困潦倒的笛卡尔邂逅了18岁高贵的公主克里斯蒂娜。对数学有着浓厚兴趣的公主,看着笛卡尔埋头苦算的数学难题,深深被他的才华折服。几天后,笛卡尔也被召进宫,成了公主的数学老师。随着公主的数学成绩越来越好,他们之间的纯粹、美好的爱情也萌芽了。但知道实情的国王也勃然大怒,笛卡尔马上被放逐回国,而公主也被禁锢了起来。公主的高贵身份正和“水中贵族”的设定一致。
二,包装好,明显比一般矿泉水包装高档又简约。
三,水好,尝过百岁山,确实入口柔软比一般的水口感好一点,广告费肯定都加进成本去了。
4. 笛卡尔叶形线的性质?
笛卡儿叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡儿在1638年提出。
直角坐标系:x^3+y^3=3axy
极坐标系:r=(3asin(θ)cos(θ))/(sin(θ)^3+cos(θ)^3)
参数方程:
x=3at/(1+t^3)
y=3at^2/(1+t^3)
5. 双曲线纯代数弦长公式?
公式是:设直线y=kx+b与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=√(1+k²)[(X1+X2)²-4X1X2]。
在数学中,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的半实轴。
双曲线出现在许多方面:
作为在笛卡尔平面中表示函数的曲线;作为日后的阴影的路径;作为开放轨道(与闭合的椭圆轨道不同)的形状,例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道,或更一般地,超过最近行星的逃逸速度的任何航天器。
作为一个单一的彗星(一个旅行太快无法回到太阳系)的路径;作为亚原子粒子的散射轨迹(以排斥而不是吸引力作用,但原理是相同的);在无线电导航中,当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时等等。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。对角线对面的手臂,一个从每个分支,倾向于一个共同的线,称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线,其交点位于双曲线的对称中心,这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。
6. 双曲线公式的衍生公式?
双曲线函数公式是y=±2x,在数学中,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a 的两倍,这里的a 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a 还叫做双曲线的半实轴。焦点位于贯穿轴上它们的中间点叫做中心。从代数上说,双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线使得,这里的所有系数都是实数,并存在定义在双曲线上的点对(x, y)的多于一个的解。注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。,双曲线的图像无限接近渐近线,但永不相交。
7. 函数的故事?
早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义,绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann,瑞,1667-1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义:由任一变量和常数的任一形式所构成的量,贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为,其在函数概念中所说的任一形式,包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞,1707-1783)就给出了非常形象的,一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是:一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数(只有自变量间的代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数),还考虑了“随意函数”(表示任意画出曲线的函数),不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1822年傅里叶(Fourier,法,1768-1830)发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy,法,1789-1857)从定义变量开始给出了函数的定义,同时指出,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式,不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限,突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805-1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个或多个确定的值,那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托尔(Cantor,德,1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量可以是数,也可以是其它对象(点、线、面、体、向量、矩阵等)。
现代函数概念——集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”,即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样,就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为,若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变元,元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意味着函数概念发展的历史终结,20世纪40年代,物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac-δ函数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的,但由于广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的Dirac-δ函数等概念统一了起来。因此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继续扩展。
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